PBD布料模拟

我们先讲解原理，然后讲解实践。

## 原理

对于布料来说，只需要额外关心一下几点：
1. 弯折约束(Bending Constraint)。弯折约束的实现方式有多种。Muller原始论文中的方法是通过相邻面之间的二面角(dihedral)来实现的。

2. 距离约束(Distance Constraint)。在布料仿真中，又叫拉伸约束(Strech Constraint)。 这与软体模拟的距离约束没有什么区别。唯一注意的是：通常布料的刚度要非常高，并且很少会去调节距离刚度。

3. 增加厚度(Cloth Thickness)以防止自碰撞。这也可以认为是一种约束。做法是考察粒子到三角面的距离和三角面的法向是否方向一致（换种说法，粒子是否与三角面处于同侧）。

距离约束我们不再赘述。

### 弯折约束

我们这里采用二面角的方法实现距离约束。这也是Muller PBD原始论文中的方法。

为了计算二面角，我们必须首先知道邻接三角面(adjacent triangle)。

如下图所示，我们有一个三角面(p1,p2,p3)。它的邻接三角面是(p1,p2,p4)。它们的共享边(shared edge)是(p1,p2)。
![](/media/202211/2022-11-16_041823_097047.png)

我们只需要找到这两个三角面的法向，即n1和n2，然后计算法向的夹角即可知晓两个面之间的夹角。

#### 邻接三角面
那么，如何找到邻接三角面呢？

显然，一个三角面最多有三个邻接三角面，最少有一个邻接三角面。或者我们想象一个矩形布料的例子：处在中间位置的三角面有三个邻接三角面，位于四个角的三角面只有一个邻接三角面，位于边缘的三角面则有两个邻接三角面。

所以思路如下：每个共享边，对应一个三角面。因此，我们只需要找到哪些是共享边（也就是同时被两个三角面都当做边的边），然后通过共享边找到对应的两个三角面，不是自己的那个就是邻接三角面。

要找到边所对应的三角面，要建立边到面的映射。

总结起来，为如下2步：
1. 建立边到面的映射。
2. 遍历所有边， 如果一个边同时属于两个三角面，那么这两个三角面互为邻接三角面。这样，我们就能维护一个邻接三角面的哈希表。这个哈希表的作用是：给定任意一个面，得到其邻接三角面。

#### 二面角约束
有了邻接三角面，我们就能找到这两个面的法线n1和n2。

所以他们的夹角就是：
$$
\varphi = arccos(\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2})
$$

然后，类比距离约束，我们要求（1）当前角与原角度的差值（即约束C）（2）二面角的梯度（即约束梯度gradC），从而让粒子产生回到原角度的运动趋势。

换成数学语言就是：
约束:
$$
C = \varphi - \varphi_0
$$

约束梯度：
![](/media/202211/2022-11-16_044147_881752.png)

上式中，p2, p3, p4都是四个粒子相对于p1的位置。也就是p2 = p2 - p1, p3=p3-p1, p4= p4 - p1。

其中d是法线的点积。

法向量也是经过了归一化的。

读者请注意，其中前面的系数（也就是负根号那个）是来源于对arccos的求导。

当然上述公式仍不能直接使用。实际发挥作用的公式如下：
![](/media/202211/2022-11-16_044639_486113.png)
其中
![](/media/202211/2022-11-16_044621_499281.png)
wi代表粒子质量倒数。

以上公式均来源自Muller2007附录。

### 自碰撞处理
为了防止自碰撞，让粒子与三角面之间保持一定的距离。这个距离被称为布料的厚度h。

如图所示。q点是任意一个粒子。p1,p2,p3则是任意一个三角面。为了防止q点穿透三角面。需要让q与三角面之间保持一定厚度h。

![](/media/202211/2022-11-16_045235_878781.png)

保持厚度的实质是让粒子永远处于三角面的同一侧。要么是正面侧，要么是反面侧。而正反面可以由法线来定义。当与法线处于同一侧的时候，就定义为正面测。

因此我们先找到三角面的法线（归一化了的），然后计算q与三角面的距离。可以先用三角形任何一个顶点（比如p1）与q之间作差得到距离向量，然后让距离向量与法向量进行点积（因为点积会消除非法线方向的分量）。这样就得到了距离。

由于粒子可能一开始就处于三角面的反面，因此我们需要分类讨论。

假如粒子处于正面：

![](/media/202211/2022-11-16_050249_515325.png)

假如粒子处于反面：

![](/media/202211/2022-11-16_050301_344212.png)

以上公式来自Muller2007。请读者不要害怕，第一项中的那个分式，只不过是归一化之后的法向量罢了。

## 实践